如圖,AO是邊長為2的等邊△ABC的高,點(diǎn)D是AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)A、O重合),以CD為一邊在AC下方作等邊△CDE,連結(jié)BE并延長,交AC的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證:△ACD≌△BCE;

(2)當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí),求△CEF的面積.


【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).

【分析】(1)由△ABC和△CDE是等邊三角形,用“SAS”證得△ACD≌△BCE;

(2)首先作CP⊥BF于點(diǎn)P,由∠CBE=30°,求得CP的長,繼而求得答案.

【解答】解:(1)∵△ABC為等邊三角形

∴AC=BC,∠ACB=60°,

同理可證CD=CE,∠DCE=60°,

∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB,

 即∠ACD=∠BCE,

在△ACD和△BCE中,

,

∴△ACD≌△BCE(SAS);

(2)由(1)得∠CBE=∠CAD=30°,得△ABF恒為直角三角形,且∠F=30°CF=CB=2,

又因?yàn)辄c(diǎn)D不與點(diǎn)A、O重合,

所以當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí),∠F只能為頂角,

如圖,作CP⊥BF于點(diǎn)P,

由∠CBE=30°,

得CP=BC=1,

因?yàn)镃F=EF=2,

所以SCEF=×2×1=1.

【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


如圖,已知:△ABC中,AB=AC,M是BC的中點(diǎn),D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn),且BD=CE.求證:MD=ME.

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在△ABC中,∠A=50°,當(dāng)∠B的度數(shù)=__________時(shí),△ABC是等腰三角形.

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下列各條件中,不能作出惟一三角形的是(     )

A.已知兩邊和夾角     B.已知兩角和夾邊

C.已知兩邊和其中一邊的對角 D.已知三邊

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兩城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME、MF位置如圖所示,現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔,要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等,到兩條公路ME、MF的距離也必須相等,且在∠FME的內(nèi)部,那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處?請?jiān)趫D中,用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C.(不寫已知、求作、作法,只保留作圖痕跡)

兩城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME、MF位置如圖所示,現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔,要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等,到兩條公路ME、MF的距離也必須相等,且在∠FME的內(nèi)部,那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處?請?jiān)趫D中,用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C.(不寫已知、求作、作法,只保留作圖痕跡)

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等腰三角形的周長是16,一邊長為4,則這個(gè)等腰三角形腰長為(     )

A.4       B.6       C.4或6       D.8

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勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”,在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中占有舉足輕重的地位.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的,可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖2是由圖1放入長方形內(nèi)得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,點(diǎn)D、E、F、G、H、I 都在長方形KLMJ的邊上,則長方形KLMJ的面積為(     )

A.90     B.100   C.110   D.121

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材料閱讀:

在小學(xué),我們了解到正方形的每個(gè)角都是90°,每條邊都相等;本學(xué)期,我們通過折紙得到定理:直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半;同時(shí)探討得知,在直角三角形中,30°的角所對的直角邊是斜邊的一半.

(1)如圖1,在等邊三角形△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=2,PB=,PC=1.求∠BPC的度數(shù)和等邊△ABC的邊長.

聰聰同學(xué)的思路是:將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(如圖2).

連接PP′.根據(jù)聰聰同學(xué)的思路,可以證明△BPP′為等邊三角形,又可以證明△ABP′≌△CBP,所以AP′=PC=1,根據(jù)勾股定理逆定理可證出△APP′為直角三角形,故此∠BPC=__________°;同時(shí),可以說明∠BPA=90°,在Rt△APB中,利用勾股定理,可以求出等邊△ABC的邊AB=__________

(2)請你參考聰聰同學(xué)的思路,探究并解決下列問題:如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=,BP=,PC=1.求∠BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,BC=12cm,BD=8cm,則點(diǎn)D到AB的距離為__________cm.

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同步練習(xí)冊答案