Question

材料閱讀：

在小學(xué)，我們了解到正方形的每個(gè)角都是90°，每條邊都相等；本學(xué)期，我們通過(guò)折紙得到定理：直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半；同時(shí)探討得知，在直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．

（1）如圖1，在等邊三角形△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC的度數(shù)和等邊△ABC的邊長(zhǎng)．

聰聰同學(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）．

連接PP′．根據(jù)聰聰同學(xué)的思路，可以證明△BPP′為等邊三角形，又可以證明△ABP′≌△CBP，所以AP′=PC=1，根據(jù)勾股定理逆定理可證出△APP′為直角三角形，故此∠BPC=__________°；同時(shí)，可以說(shuō)明∠BPA=90°，在Rt△APB中，利用勾股定理，可以求出等邊△ABC的邊AB=__________．

（2）請(qǐng)你參考聰聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【考點(diǎn)】四邊形綜合題．

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等邊△BPP′，推出PP′=，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；然后在Rt△APB中，利用勾股定理可求得AB的長(zhǎng)；

（2）求出∠BEP=（180°﹣90°）=45°，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求出FE=BF=1，AF=2，關(guān)鍵勾股定理即可求出AB．

【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=60°．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC．

∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°．

∴△BPP′是等邊三角形．

∴PP′=，∠BP′P=60°．

∵AP′=1，AP=2，

∴AP′²+PP′²=AP²．

∴∠AP′P=90°．

∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°．

在Rt△AP′P中，sin∠APP′=，

∴∠APP′=30°．

∴∠BPA=∠BPP′+∠APP′=60°+30°=90°．

Rt△APB中，由勾股定理可知：AB===．

故答案為：150°；．

（2）將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，

∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°．

∴∠BEP=（180°﹣90°）=45°．

由勾股定理得：EP==2．

∵AE=1，AP=，EP=2，

∴AE²+PE²=AP²．

∴∠AEP=90°．

∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°．

∵PE⊥PA，BF⊥AF，

∴∠EBF=∠BEP=45°．

∴∠FEB=∠FBE=45°．

∴FE=BF=1．

∴AF=2．

∴在Rt△ABF中，由勾股定理得AB=．

∴∠BPC=135°，正方形邊長(zhǎng)為 ．

∴∠BPC的度數(shù)是135°，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)勾股定理及逆定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，正確作輔助線并能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵．