Question

如圖，點P是拋物線C：y＝x²上橫坐標(biāo)大于零的一點，直線l過點P并與拋物線C在點P處的切線垂直，直線l與拋物線C相交于另一點Q.

(1)當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為2時，求直線l的方程；

(2)若＝0，求過點P，Q，O的圓的方程．

Answer 1

解析：(1)把x＝2代入y＝x²，得y＝2，

∴點P的坐標(biāo)為(2,2)．

由y＝x²，①

求導(dǎo)得y′＝x，∴過點P的切線的斜率k_切＝2.

∴直線l的斜率k₁＝－＝－.

∴直線l的方程為y－2＝－(x－2)，

即x＋2y－6＝0.

(2)設(shè)P(x₀，y₀)，則y₀＝x.

∵過點P的切線斜率k_切＝x₀，x₀≠0，

∴直線l的斜率k₁＝－＝－.

∴直線l的方程為y－x＝－(x－x₀)．②

設(shè)Q(x₁，y₁)，且M(x，y)為PQ的中點，

∵＝0，∴過點P，Q，O的圓的圓心為M(x，y)，半徑為r＝|PM|，且x₀x₁＋y₀y₁＝x₀x₁＋xx＝0，

∴x₀x₁＝0(舍去)或x₀x₁＝－4.

聯(lián)立①②消去y，得x²＋x－x－2＝0，

由題意知x₀，x₁為方程的兩根，

∴x₀x₁＝－x－2＝－4.

又x₀＞0，∴x₀＝，y₀＝1.

∴x₁＝－2，y₁＝4.

∵M是PQ的中點，∴

r²＝(x－x₀)²＋(y－y₀)²＝，

∴過點P，Q，O的圓的方程為＝.