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已知函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)定義:函數(shù)的定義域為
,若
,使
成立,則稱
為
的不動點.
當時,
(ⅰ)證明:函數(shù)存在唯一的不動點
,且
;
(ⅱ)已知數(shù)列滿足
,
求證:,(其中
為
的不動點).
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如圖,拋物線E:的焦點為
,其準線
與
軸交于點
,過拋物線E上的動點
作
于點
.當
時,
.
(Ⅰ)求拋物線E的方程;
(Ⅱ)過點作直線
,求直線
與拋物線E的交點個數(shù);
(Ⅲ)點C是的外心,是否存在點
,使得
的面積最小.若存在,請求出面積的最小值及P的坐標;若不存在,請說明理由.
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某茶廠現(xiàn)有三塊茶園,每塊茶園的茶葉估值為6萬元.根據(jù)以往經(jīng)驗:今年5月12日至14日是采茶的最佳時間,在此期間,若遇到下雨,當天茶園的茶葉估值減少為前一天的一半.現(xiàn)有兩種采摘方案:
方案①:茶廠不額外聘請工人,一天采摘一塊茶園的茶葉;
方案②:茶廠額外聘請工人,在12日采摘完全部茶葉,額外聘請工人的成本為3.2萬元.
根據(jù)天氣預(yù)報,該地區(qū)5月12日不降雨,13日和14日這兩天降雨的概率均為40%.每天是否下雨不相互影響.
(Ⅰ)若采用方案①,求茶廠14日當天采茶的預(yù)期收益;
(Ⅱ)從統(tǒng)計學的角度分析,茶廠采用哪種方案更合理.
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如圖,梯形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F(xiàn)分別在線段BC,AD上,EF∥AB.將四邊形ABEF沿EF折起,連接AD,AC.
(Ⅰ)若BE=3,在線段AD上一點取一點P,使,求證:CP∥平面ABEF;
(Ⅱ)若平面ABEF⊥平面EFDC,且線段FA,FC,FD的長成等比數(shù)列,求二面角E-AC-F的大小.
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如圖,平面直角坐標系中,
,
,
的面積為
.
(Ⅰ)求的長;
(Ⅱ)若函數(shù)
的圖象經(jīng)過
三點,其中
為
的圖象與
軸相鄰的兩個交點,求函數(shù)
的解析式.
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十八世紀,法國數(shù)學家布豐和勒可萊爾提出投針問題:在平面上畫有一組間距為的平行線,將一根長度為
的針任意擲在這個平面上,求得此針與平行線中任一條相交的概率
(
為圓周率).
已知,
,現(xiàn)隨機擲14根相同的針(長度為
)在這個平面上,記這些針與平行線(間距為
)相交的根數(shù)為
,其相應(yīng)的概率為
.當
取得最大值時,
.
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