1.（2003京春理，9）某班新年聯(lián)歡會原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（    ）

A.42                 B.30                 C.20                 D.12

2.（2003京春文，10）某班新年聯(lián)歡會原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（    ）

A.6                             B.12                                 C.15                              D.30

3.（2002京皖春理，6）從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同工作.若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則選派方案共有（    ）

A.280種                                                       B.240種   

C.180種                                                       D.96種

4.（2002京皖春文，6）若從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同工作，則選派方案共有（    ）

A.180種                                                       B.360種  

C.15種                                                         D.30種

5.（2002京皖春理，10）對于二項(xiàng)式（+x³）ⁿ（n∈N^*），四位同學(xué)作出了四種判斷：

①存在n∈N ^*，展開式中有常數(shù)項(xiàng)  ②對任意n∈N ^*，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)  ③對任意n∈N ^*，展開式中沒有x的一次項(xiàng)  ④存在n∈N ^*，展開式中有x的一次項(xiàng)上述判斷中正確的是（    ）

A.①③                                           B.②③  

C.②④                                            D.①④

6.（2002京皖春文，10）在（+x²）⁶的展開式中，x³的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)依次是（    ）

A.20，20                                        B.15，20  

C.20，15                                        D.15，15

7.（2002全國文，12、理，11）從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（    ）

A.8種                                            B.12種  

C.16種                                           D.20種

8.（2002北京文，9）5本不同的書，全部分給四個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少1本，不同分法的種數(shù)為（    ）

A.480                                                    B.240  

C.120                                                    D.96

9.（2002北京理，9）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有（    ）

A.種                                      B.3種  

C.種                                      D.種

10.（2001京皖春，3）等于（    ）

A.0                    B.2                    C.                   D.

11.（2001天津理，9）某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負(fù)一場，得0分，一球隊(duì)打完15場，積33分，若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平的情況共有（    ）

A.3種                B.4種                 C.5種                 D.6種

12.（2000京皖春，8）從單詞“equation”中選取5個(gè)不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“ｑu”相連且順序不變）的不同排列共有（    ）

A.120個(gè)            B.480個(gè)            C.720個(gè)            D.840個(gè)

13.（1999全國理，8）若（2x＋）⁴＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋ax⁴，則（a₀＋a₂＋a₄）²－（a₁＋a₃）²的值為（    ）

A.1                    B.－1                 C.0                    D.2

14.（1999全國，14）某電腦用戶計(jì)劃使用不超過500元的資金購買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤.根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有（    ）

A.5種                       B.6種                       C.7種                       D.8種

15.（1998全國理，11）3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1

名醫(yī)生和2名護(hù)士.不同的分配方法共有（    ）

A.90種                     B.180種                   C.270種                   D.540種

16.（1997全國理，15）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（    ）

A.150種                   B.147種                   C.144種                   D.141種

17.（1997全國文）四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其他頂點(diǎn)與棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有（    ）

A.30種                      B.33種                      C.36種                      D.39種

18.（1996全國文）6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有（    ）

A.720種                    B.360種                    C.240種                    D.120種

19.（1995全國文15，理13）用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（    ）

A.24個(gè)                     B.30個(gè)                     C.40個(gè)                     D.60個(gè)

20.（1995全國，6）在（1－x³）（1+x）¹⁰的展開式中，x⁵的系數(shù)是（    ）

A.－297                     B.－252                     C.297                               D.207

21.（1994全國，10）有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有（    ）

A.1260種                 B.2025種                  C.2520種                  D.5040種

22.（1994上海，18）計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有（    ）

A.種                                                 B.種   

C.種                                                D.種

23.（2003上海春，9）8名世界網(wǎng)球頂級選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第3、4名，大師賽共有_____場比賽.

24.（2002上海7）在某次花樣滑冰比賽中，發(fā)生裁判受賄事件，競賽委員會決定將裁判由原來的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的評分作為有效分.若14名裁判中有2人受賄，則有效分中沒有受賄裁判的評分的概率是_____.（結(jié)果用數(shù)值表示）

25.（2002上海春，7）六位身高全不相同的同學(xué)拍照留念，攝影師要求前后兩排各三人，則后排每人均比前排同學(xué)高的概率是_____.

26.（2002上海春，5）若在（）ⁿ的展開式中，第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則n=      .

27.（2002全國理，16）（x²+1）（x－2）⁷的展開式中x³項(xiàng)的系數(shù)是      .

28.（2002上海文，9）某工程由下列工序組成，則工程總時(shí)數(shù)為      天.

29.（2002天津文，15）甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm²）：

其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是_____.

30.（2001上海，7）某餐廳供應(yīng)客飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同的品種．現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需準(zhǔn)備不同的素菜品種      種．（結(jié)果用數(shù)值表示）

31.（2001全國，16）圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)（n＞1），以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為      .

32．（2001上海理，8）在代數(shù)式（4x²－2x－5）（1＋）⁵的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為     ．

33.（2001全國文，13）（x＋1）¹⁰的二項(xiàng)展開式中x³的系數(shù)為       .

34.（2001上海春）在大小相同的6個(gè)球中，2個(gè)紅球，4個(gè)白球.若從中任意選取3個(gè)，則所選的3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率是_____.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

35.（2001廣東河南，13）已知甲、乙兩組各有8人，現(xiàn)從每組抽取4人進(jìn)行計(jì)算機(jī)知識競賽，比賽人員的組成共有      種可能（用數(shù)字作答）.

36.（2001江西、山西、天津理）一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是_____.（用數(shù)字作答）

       37.（2001上海文）利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，應(yīng)選擇的方案是_____.

38.（2000上海春，4）若（+a）⁵的展開式中的第四項(xiàng)是10a²（a為大于零的常數(shù)），則x=_____.

39.（2000上海春，10）有n（n∈N^*）件不同的產(chǎn)品排成一排，若其中A、B兩件產(chǎn)品排在一起的不同排法有48種，則n=_____.

40.（2000京皖春理，17）展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_____.

42.（2000年上海，9）在二項(xiàng)式（x－1）¹¹的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為    .（結(jié)果用數(shù)值表示）

43.（2000上海，10）有紅、黃、藍(lán)三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別標(biāo)上號碼1、2和3.現(xiàn)任取3面，它們的顏色與號碼均不相同的概率是      .

44.（2000兩省一市理，13）某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，其中次品數(shù)以ξ的概率分布是

45.（1999全國，16）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟.為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有_____種（用數(shù)字作答）.

46.（1999上海理，3）在（x³+）⁵展開式中，x⁵項(xiàng)的系數(shù)為      .

47.（1999上海理，11）若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m、n作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，則點(diǎn)P落在圓x²+y²=16內(nèi)的概率是      .

48.（1998全國理，17）（x+2）¹⁰（x²－1）的展開式中x¹⁰的系數(shù)為_____（用數(shù)字作答）.

49.（1998上海，9）設(shè)n是一個(gè)自然數(shù)，（1＋）ⁿ的展開式中x³的系數(shù)為，則n=_____.

50.（1997全國，16）已知（）⁹的展開式中x³的系數(shù)為，常數(shù)a的值為_____.

51.（1997上海，11）若（3x+1）ⁿ（n∈N^*）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是256，則展開式中x²的系數(shù)是_____.

52.（1997上海，16）從集合｛0、1、2、3、5、7、11｝中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_____條（結(jié)果用數(shù)值表示）.

53.（1996全國，17）正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有_____個(gè)（用數(shù)字作答）.

54.（1996上海，17）有8本互不相同的書，其中數(shù)學(xué)書3本，外文書2本，其他書3本，若將這些書排成一列放在書架上，則數(shù)學(xué)書恰好排在一起，外文書也恰好排在一起的排法共有_____種（結(jié)果用數(shù)字表示）.

55.（1996上海理，14）在（1+x）⁶（1－x）⁴的展開式中，x³的系數(shù)是_____（結(jié)果用數(shù)值表示）.

56.（1995上海，13）若（x+1）ⁿ＝xⁿ＋…＋ax³＋bx²＋…＋1（n∈N^*），且a∶b＝3∶1，那么n=_____.

57.（1995上海，19）從6臺原裝計(jì)算機(jī)和5臺組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺，其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各2臺，則不同的選取法有_____種.（結(jié)果用數(shù)值表示）.

58.（1995全國，20）四個(gè)不同小球放入編號為1、2、3、4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有_____種.（用數(shù)字作答）

59.（1994全國，16）在（3－x）⁷的展開式中，x⁵的系數(shù)是_____（用數(shù)字作答）.

60.（2002天津文20，理19）某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0.5（相互獨(dú)立）.

（Ⅰ）求至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率；

（Ⅱ）至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3？

61.（2001江西、山西、天津）如圖10―1，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N₁，N₂.當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N₁正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N₂正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0．80、0．90、0．90.分別求系統(tǒng)N₁、N₂正常工作的概率P₁、P₂.

62.（2001上海理）對任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)z，m_z={ω|ω=z^2n－1，n∈N}

（1）設(shè)α是方程x+的一個(gè)根，試用列舉法表示集合M_α.若在M_α中任取兩個(gè)數(shù)，求其和為零的概率P.

（2）設(shè)復(fù)數(shù)ω∈M_z，求證：M_ωM_z.

63.（2001全國理，20）已知i，m，n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.

（1）證明nⁱ＜mⁱ；

（2）證明（1＋m）ⁿ＞（1＋n）^m.

64.（2000江西、山西、天津理，17）甲、乙二人參加普法知識競答，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)，甲、乙二人依次各抽一題.

（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？

（2）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？

65.（2000上海，22）規(guī)定，其中x∈R，m是正整數(shù)，且=1，這是組合數(shù)（n、m是正整數(shù)，且m≤n的一種推廣）.

（1）（文）求的值；

（理）求的值；

（2）（文）設(shè)x＞0，當(dāng)x為何值時(shí)，取最小值？

（理，文2）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：

①.  ②.

是否都能推廣到（x∈R，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，請寫出推廣的形式，并給出證明；若不能，則說明理由.

（3）（理）已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明：當(dāng)x∈Z，m是正整數(shù)時(shí)，∈Z.

66.（1996全國文24，理23）某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%，如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）?

●答案解析

1.答案：A

解析：這是一個(gè)插空問題，應(yīng)分兩類：第一類，新增的兩個(gè)節(jié)目連在一起；第二類，兩個(gè)新增節(jié)目不連在一起，而原來的5個(gè)節(jié)目可看做分出6個(gè)空位.第一類則有2×種不同的插法，第二類則有種不同的插法.應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理，共有12+30=42種不同的插法.

評述：該題是應(yīng)用問題，內(nèi)容貼近學(xué)生，有一定的綜合性、靈活性、考查分析，解決問題及邏輯思維的能力.同時(shí)應(yīng)有周密的思維習(xí)慣.

2.答案：D

解析：見第1題.

3.答案：B

解析：因?yàn)榧�、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作.因此，翻譯工作從余下的四名志愿者選一人有種，再從余下的5人中選3人從事導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔有種.因此=240.

4.答案：B

解析：=360.

5.答案：D

解析：二項(xiàng)式（+x³）ⁿ展開式的通項(xiàng)為T_r+1=()^n－r(x³)^r=x^r－n?x^3r=x^4r－n

當(dāng)展開式中有常數(shù)項(xiàng)時(shí)，有4－n=0，即存在n、r使方程有解.

當(dāng)展開式中有x的一次項(xiàng)時(shí)，有4r－n=1，即存在n、r使方程有解.

即分別存在n，使展開式有常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng).

6.答案：C

解析：二項(xiàng)式（+x²）⁶展開式的通項(xiàng)為：

T_r+1=

∴當(dāng)T_r+1為x³項(xiàng)時(shí)，r=3，∴T_r+1=?x³=20?x³

當(dāng)T_r+1為常數(shù)項(xiàng)時(shí)，r=2，∴T_r+1==15

7.答案：B

解析：聯(lián)想以空間模型，注意到“有2個(gè)面不相鄰”，既可從相對平行的平面入手正面構(gòu)造，即?；也可從反面入手剔除8個(gè)角上3個(gè)相鄰平面，即：.

8.答案：B

解析：先把5本書中的兩本捆起來（），再分成四份（），∴分法種數(shù)為?=240（種）.

9.答案：A

解析：先分配4個(gè)人到第一個(gè)路口，再分配4個(gè)人到第二個(gè)路口，最后分配4個(gè)人到第三個(gè)路口，即：??.

10.答案：D

解析：原式＝

∴

11.答案：A

       解析：設(shè)該隊(duì)勝x場，平y場，則負(fù)（15－x－y）場，由題意得3x+y=33，

∴y=33－3x≥0

∴x≤11，且x+y≤15，（x，y∈N）

因此，有以下三種情況：

評述：本題利用不定方程及窮舉法解決排列、組合問題.

12.答案：B

解析：＝480．

13.答案：A

14．答案：C 

解法一：由題意知，按買磁盤盒數(shù)多少可分三類：買4盒磁盤時(shí)，只有1種；

買3盒磁盤時(shí)，有買3片或4片軟件兩種；買2盒磁盤時(shí)，可買3片、4片、5片或6片軟件，有4種，故共有1＋2＋4＝7種不同的選購方式，答案為C.

解法二：先買軟件3片，磁盤2盒，共需320元，還有180元可用，按不再買磁盤、再買1盒磁盤、再買兩盒磁盤三類，仿解法一可知選C.

評述：本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理、分類討論思想.背景簡單，但無現(xiàn)成模式可用，對分析解決問題的能力有較高要求.

15.答案：D

解析：設(shè)計(jì)讓3所學(xué)校依次挑選，先由學(xué)校甲挑選，有種，再由學(xué)校乙挑選，有種，余下的到學(xué)校丙只有一種，于是不同的方法數(shù)共有??＝540種，答案為D.

評述：設(shè)計(jì)一個(gè)程序是解答排列組合應(yīng)用題的常見解法.

16.答案：D

解法一：10個(gè)點(diǎn)任取4個(gè)點(diǎn)取法有種，其中面ABC內(nèi)的6個(gè)點(diǎn)中任意4點(diǎn)都共面，從這6點(diǎn)中任取4點(diǎn)有種，同理在其余3個(gè)面內(nèi)也有種，又每條棱與相對棱中點(diǎn)共面有6種，各棱中點(diǎn)中4點(diǎn)共面的有3種，故10個(gè)點(diǎn)中取4點(diǎn)，不共面的取法共有＝141種.

解法二：四面體記之為A―BCD，設(shè)平面BCD為α，那么從10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)不共面的點(diǎn)的情況共有四類：（1）恰有3個(gè)點(diǎn)在α上，有4（）＝68種取法；（2）恰有2個(gè)點(diǎn)在α上，可分兩種情況：該2個(gè)點(diǎn)在四面體的同一條棱上時(shí)有3＝27種，該2個(gè)點(diǎn)不在同一條棱上，有（）?（－1）＝30種；（3）恰有1個(gè)點(diǎn)在α上，可分兩種情況，該點(diǎn)是棱的中點(diǎn)時(shí)有3×3＝9種，該點(diǎn)是棱的端點(diǎn)時(shí)有3×2＝6種；（4）4個(gè)點(diǎn)全不在α上，只有1種取法.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，不同的取法共有68＋27＋30＋9＋6＋1＝141種．

評述：本題對空間想象能力要求較高，對觀察能力和思維能力要求也高.在應(yīng)用背景及其限制條件下合理分類是解題的關(guān)鍵.

17.答案：B

解析：四面體有4個(gè)頂點(diǎn)，6條棱有6個(gè)中點(diǎn)，每個(gè)面上的6個(gè)點(diǎn)共面，點(diǎn)A所在的每個(gè)面中含A的4點(diǎn)組合有個(gè)，點(diǎn)A在3個(gè)面內(nèi)，共有3個(gè)組合，點(diǎn)A在6條棱的三條棱上，每條棱上有3個(gè)點(diǎn)，這3點(diǎn)與對棱的中點(diǎn)共面，所以與點(diǎn)A共面的四點(diǎn)組合共有3+3=33（個(gè)）

評述：本題考查組合的知識和空間想象能力.對考生的觀察能力和思維能力有較高要求，考生失誤的主要原因是沒有把每條棱上的3點(diǎn)與它對棱上的中點(diǎn)共面的情況計(jì)算入內(nèi).

18.答案：C

解析：把甲、乙兩人看作1個(gè)人，這樣6個(gè)人看作5個(gè)人，5個(gè)人的全排列有種，甲、乙兩個(gè)人還有順序問題，所以排法總數(shù)為?=240（種）

評述：這是一道有限制條件的排列題，考查排列的概念和排列數(shù)公式.“相鄰問題”是一個(gè)常見的典型問題.

19.答案：A

解法一：其中2在個(gè)位的三位數(shù)有個(gè)，4在個(gè)位的三位數(shù)有個(gè)，故沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)共有2＝24個(gè)，故選A.

解法二：先排個(gè)位有種，再排十位、百位有種，于是合乎要求的三位偶數(shù)共有＝24個(gè).故選A.

評述：本題為有特殊要求的排列問題，考查排列基礎(chǔ)知識和邏輯推理能力.

20.答案：D

解析：∵原式=（1+x）¹⁰－x³（1+x）¹⁰.

∴欲求原展開式中x⁵的系數(shù)，只需求出（1+x）¹⁰展開式中x⁵和x²的系數(shù).

而（1+x）¹⁰=1+…+x²+…+x⁵+….故（1－x³）（1+x）¹⁰展開式中，x⁵的系數(shù)為－=207.

21.答案：C

解法一：從10人中選派4人有種，進(jìn)而對選出的4人具體分派任務(wù)，有種，由分步計(jì)數(shù)原理得不同的選派方法為＝2520種，答案為C.

解法二：據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同選法種數(shù)為??＝2520種.

評述：本題主要考查組合和分步計(jì)數(shù)原理，答數(shù)較大，對組合數(shù)的計(jì)算要求較高.方法一用的是先選后派方法是處理排列組合應(yīng)用題的基本方法.

22.答案：D

解析：先各看成整體，但水彩畫不在兩端，則為，然后水彩畫與國畫各全排列，所以共有．

23.答案：16

解析：分兩組比賽，每組有場，每組的第一名與另一組的第二名比賽有2場，三、四名比賽，冠亞軍比賽，共有2+2+2=16（場）

24.答案：

解析：有效分應(yīng)該是由沒有受賄裁判的評分，因此，7名裁判應(yīng)從12人中選，則有效分中沒有受賄裁判的評分的概率是.

25.答案：

解析：因?yàn)楹笈琶咳司�比前排人高，因此�?yīng)將6人中最高的3個(gè)人放在后排，其余3人站前排.故所有排法有?=36種.故后排每人均比前排同學(xué)高的概率為

26.答案：18

解析：∵為常數(shù)項(xiàng).

∴=0，即n=18.

27.答案：1008

解析：系數(shù)為：（－2）⁶+（－2）⁴=1008.

28.答案：11

解析：要完成某項(xiàng)工序，必須先完成它的緊前工序且在緊前工序完成的條件下，若干件工序可同時(shí)進(jìn)行，因而工程總時(shí)數(shù)為：3+2+5+1=11（天）.

29.答案：甲

解析：根據(jù)題意，需要比較和

由于=0.158，=0.552  因此甲產(chǎn)量比較穩(wěn)定.

30.答案：7

解析：在5種不同的葷菜中取出2種的選擇方式應(yīng)有＝10（種）

選擇方式至少為200種，設(shè)素菜為x種，∴≥200

≥20，x（x－1）≥40，x≥7

∴至少應(yīng)為7種素菜.

31.答案：2n（n－1）

解析：先在圓上找一點(diǎn)，2n個(gè)點(diǎn)因?yàn)槭堑确贮c(diǎn)，所以過圓心的直徑應(yīng)有n，減去過這點(diǎn)的直徑，剩下的直徑n－1個(gè)都可以與這個(gè)點(diǎn)形成直角三角形，∴一個(gè)點(diǎn)可以形成n－1個(gè)直角三角形，這樣的點(diǎn)有2n個(gè).

∴一共為2n（n－1）.

32.答案：15

解析：.

33.答案：15

解析：

34.答案：

解析：所選3球中至少有一個(gè)紅球的選法有??=16（種）

從6個(gè)球中任選3個(gè)球的選法有=20（種）.

故概率p=.

評述：本題主要考查對可能事件的概率計(jì)算，以及考生分析問題解決問題的能力.古典概率是學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計(jì)的起點(diǎn)，而掌握古典概型的前提是能熟練地掌握排列組合的基本知識.

35.答案：4900

解析：完成這件事可分為兩步：

第一步：從甲組8人中抽取4個(gè)，有種方法；

第二步：從乙組8人中抽取4人，有種方法.

因此，比賽人員的組成共有?=4900種可能.

評述：本題考查分步計(jì)數(shù)原理、組合的概念以及組合數(shù)的運(yùn)算，考查分析問題、解決問題的能力.

36.答案：1.2

解析：設(shè)其中含紅球個(gè)數(shù)為x，則x=1或 x=2.

而含一個(gè)紅球的概率A₁=

含兩個(gè)紅球的概率為A₂=

∴含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1×+2×=1.2

評述：本題考查數(shù)學(xué)期望的概念、概率的概念及它們的計(jì)算.

37.答案：A₃

解析：A₁的數(shù)學(xué)期望：=0.25×50+0.30×65+0.45×26=43.7

A₂的數(shù)學(xué)期望：=0.25×70+0.30×26+0.45×16=32.5

A₃的數(shù)學(xué)期望：=0.25×（－20）+0.30×52+0.45×78=45.7

A₄的數(shù)學(xué)期望：=0.25×98+0.30×82+0.45×（－10）=44.6

評述：本題考查概率與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生識表的能力.對圖表的識別能力，是近年高考突出考查的熱點(diǎn).圖表語言與其數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)換，應(yīng)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)，應(yīng)引起高度重視.

38.答案：

解析：∵，∴x＝.

39.答案：5

解析：由＝48，得＝24，∵＝24，∴n＝5.

40.答案：210

解析：T_r＋1＝，令30－5r=0，得r=6.∴常數(shù)項(xiàng)T₇＝?（－1）⁶＝210．

41.答案：252

解析：＝252．

42.答案：－462

解法一：因?yàn)樵冢?i>x－1）¹¹的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相等或互為相反數(shù)，又展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)有兩項(xiàng)，分別為第六項(xiàng)x⁶（－1）⁵．第七項(xiàng)x⁵（－1）⁶，所以得系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為．

解法二：展開式中第r+1項(xiàng)為，要使項(xiàng)的系數(shù)最小，則r為奇數(shù)，且使為最大，由此得r=5，所以項(xiàng)的最小系數(shù)為．

43.答案：

解析：從9面旗幟中任取3面，共有（種）取法.

現(xiàn)取3面，顏色與號碼均不相同共有??=6（種）

因此，所求概率為.

44.答案：

解析：設(shè)次品數(shù)為ξ，則ξ~（2，0.05），其中p=0.05為次品率，則q=0.95為正品率，于是由二項(xiàng)分布公式（列成表格）：

即得所求結(jié)果.

45.答案：12

解析：先考慮A種植在左邊的情況，有三類：A種植在最左邊一壟上時(shí)，B有三種不同的種植方法；A種植在左邊第二壟上時(shí)，B有兩種不同的種植方法；A種植在左邊第三壟上時(shí)，B只有一種種植方法.又B在左邊種植的情況與A時(shí)的相同，故共有2×（3＋2＋1）＝12種不同的選壟方法.

評述：本題主要考查兩個(gè)基本原理、分類討論思想，對分析解決問題的能力有較高要求.

46.答案：40

解析：由通項(xiàng)公式T_r+1=（x³）^5－r?（）^r=?2^r?x^15－5r

由題意，令15－5r=5.得r=2.

∴含x⁵項(xiàng)的系數(shù)為?2²=40.

47.答案：

解析：擲兩次骰子分別得到的總數(shù)m、n作為P點(diǎn)的坐標(biāo)共有?=36（種）可能結(jié)果，其中落在圓內(nèi)的點(diǎn)有8個(gè)：（1，1）、（2，2）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（3，1）、（2，3）、（3，2），則所求的概率為.

評述：本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，概率概念等基礎(chǔ)知識以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想解決實(shí)際問題的能力.

48.答案： 179

解析：展開式中x¹⁰的系數(shù)與（x+2）¹⁰的展開式中x¹⁰的系數(shù)和x⁸的系數(shù)有關(guān)，由多項(xiàng)式運(yùn)算法則知所求系數(shù)為?（－1）＋?2²?1＝179.

評述：本題考查在邏輯思維能力上的要求，兼考查分類討論的思想.

49. 答案：4

解析：T_r＋1＝，令r=3得x³的系數(shù)，解得n=4.

50.答案： 4

解析：T_r＋1＝

當(dāng)，即r=8時(shí)，，解得a=4.

評述：本題考查二項(xiàng)式定理的基礎(chǔ)知識，重點(diǎn)考查通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù)的概念，兼考運(yùn)算能力.

51.答案： 54

解析：令x=1得展開式各項(xiàng)系數(shù)之和4ⁿ＝256解得n=4，所以x²的系數(shù)是?3²＝54．

52.答案：30

解析：因過原點(diǎn)的直線常數(shù)項(xiàng)為0知c=0，從集合中任取兩個(gè)非零元素作系數(shù)A、B有種，所以適合條件的直線有＝30條.

53.答案： 32

解析：7個(gè)點(diǎn)任取3點(diǎn)的組合數(shù)＝35，其中三點(diǎn)在一線上不能組成三角形的有3個(gè)，故組成三角形的個(gè)數(shù)為35－3＝32個(gè).

評述：本題是有限制條件的組合應(yīng)用題，背景采用幾何圖形，對邏輯思維能力要求較高.易出現(xiàn)不排除不構(gòu)成三角形的情況的錯(cuò)誤.

54.答案： 1440

解析：將數(shù)學(xué)書與外文書分別捆在一起與其他3本書一起排，有＝120種排法，再將3本數(shù)學(xué)書之間交換有＝6種，2本外文書之間交換有＝2種，故共有＝1440種排法.

55.答案： －8

解析：原式=（1＋x）²（1－x²）⁴＝（1＋2x＋x²）(1－x²)⁴含x³的項(xiàng)為2x??(－x²)＝－8x³，故x³的系數(shù)為－8.

56.答案：11

解析：，

由已知有．

57. 答案：350

解析：選法是原裝取2臺組裝取3臺，原裝取3臺組裝取2臺.故不同的選取法有＝350種.

58. 答案：144

解法一：考慮用分配的數(shù)學(xué)模型來解.

若1號盒空，2號盒放2個(gè)球，3號盒和4號盒各放一個(gè)球有＝12種放法.

若1號盒空，3號盒放2個(gè)球，4號盒和2號盒各放一個(gè)球時(shí)仍有＝12種放法.

若1號盒空，4號盒放2個(gè)球，2號盒和3號盒各放一個(gè)球同樣有＝12種放法.

即1號盒空共有3×12＝36種放法.

同理2號盒空有36種放法，3號盒空有36種放法，4號盒空有36種放法.

故按題中要求恰有一個(gè)空盒的放法共有4×36＝144種放法.

解法二：先將4個(gè)球分成3組每組至少1個(gè)，分法有6種.然后再將這3組球放入4個(gè)盒子中每盒最多裝一組.則恰有一個(gè)空盒的放法種數(shù)為6＝144種.

評述：本題是一道排列組合綜合題，運(yùn)用先分組，后排列的方法較好.

59.答案： －189

解析：，

所以r=5，x⁵的系數(shù)為3²（－1）⁵＝－189．

評述：本題考查二項(xiàng)式定理，重點(diǎn)考查通項(xiàng)公式，兼考計(jì)算能力.

60.解：（Ⅰ）至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率等于1減去至多2人同時(shí)上網(wǎng)的概率，即

.

（Ⅱ）至少4人同時(shí)上網(wǎng)的概率為

至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率為：

.

因此，至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3.

61.解：分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C，由已知條件

P（A）＝0．80，P（B）＝0．90，P（C）＝0．90.

（Ⅰ）因?yàn)槭录?i>A、B、C是相互獨(dú)立的，系統(tǒng)N₁正常工作的概率

P ₁＝P（A?B?C）＝P（A）?P（B）?P（C）＝0．80×0．90×0．90＝0．648.

故系統(tǒng)N₁正常工作的概率為0．648．

（Ⅱ）系統(tǒng)N₂正常工作的概率

.

∵P（）＝1－P（B）＝1－0．90＝0．10.

P（）＝1－P（C）＝1－0．90＝0．10.

∴P₂＝0．80×［1－0．10×0．10］＝0．80×0．99＝0．792.

故系統(tǒng)N₂正常工作的概率為0．792.

62.解：（1）解方程x+得x=

當(dāng)α₁=時(shí)ω=α₁^2n－1=

由iⁿ的周期性知：ω有四個(gè)值.

n=1時(shí)，ω=

n=2時(shí)，ω=

n=3時(shí)，ω=

n=4時(shí)，ω=

當(dāng)α₂=i時(shí)，ω=α₂^2n－1=

n=1時(shí)，ω=

n=2時(shí)，ω=

n=3時(shí)，ω=

n=4時(shí)，ω=

∴不管α=還是α=

M_α={ }

P=

（2）∵ω∈M_z，則ω=z^2m－1，m∈N

任取x∈M_ω，則x=ω^2n－1，n∈N

而ω=z^2m－1  ∴x=（z^2m－1）^2n－1=z^{(2m－1)(2n－1)}

∵（2m－1）（2n－1）為正奇數(shù)

∴x∈M_z  ∴M_ωM_z

評述：復(fù)數(shù)的運(yùn)算是復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)，本題考查復(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪，由于iⁿ的周期性，因而

α²ⁿ－1只有四個(gè)值，題目以集合的形式給出復(fù)數(shù)ω，使復(fù)數(shù)與集合有機(jī)的結(jié)合在一起，不僅考查復(fù)數(shù)還考查集合的表示方法.而證明一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集在對集合的考查上又高了一個(gè)層次.證明盡管不繁，但思維層次較高.

63.證明：（1）方法一：

對于m＜n，∴k＝1，2，…，i－1有

∴即mⁱ＞nⁱ

方法二：nⁱ=?m?（m－1）?（m－2）?…?（m－i+1）

=mn?（mn－n）?（mn－2n）?…?［mn－n（i－1）］                    ①

同理mⁱ=mn?（mn－m）?（mn－2m）?…?［mn－m（i－1）］       ②

∵1＜i≤m＜n，

∴mn－n＜mn－m，mn－2n＜mn－2m，…，

mn－n（i－1）＜mn－m（i－1）                                                ③

∴聯(lián)系①、②、③可得nⁱ＜mⁱAⁱ_n.

（2）由二項(xiàng)式定理：

又∵

而mⁱ＞nⁱ

∴

……

又∵

∴（1＋m）ⁿ＞（1＋n）^m

評述：此題體現(xiàn)了命題指導(dǎo)思想上有加強(qiáng)離散數(shù)學(xué)分量的趨勢.

64.解：（1）甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，乙從判斷題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，故甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的可能結(jié)果有?個(gè)；又甲、乙依次抽一題的可能結(jié)果有個(gè)，所以甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率為：.

（2）甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為：.

故甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為：1－

或用以下解法：

.

評述：本題主要考查等可能事件的概率計(jì)算及分析和解決實(shí)際問題的能力.

65.（1）（文）解：.

（理）解：.

（2）（文）解：.

∵x＞0，x+≥2.

當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，等號成立.

∴當(dāng)x=時(shí)，取得最小值.

（理，文3）解：性質(zhì)①不能推廣.例如當(dāng)x=時(shí)，有定義，但無意義；性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是，x∈R，m是正整數(shù)，事實(shí)上

當(dāng)m=1時(shí)，有，

當(dāng)m≥2時(shí)，

.

（3）（理）證明：當(dāng)x≥m時(shí)，組合數(shù)∈Z.

當(dāng)0≤x＜m時(shí)，=0∈Z.

當(dāng)x＜0時(shí)，∵－x+m－1＞0，

∴

∈Z.

66.解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)在人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸／公頃.

依題意得不等式（1＋10％）

化簡得x≤10³［］

∵

∴x≤4（公頃）

答：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃.

●命題趨向與應(yīng)試策略

1.本章內(nèi)容在高考中所占比重不大，但試題都具有一定的靈活性、機(jī)敏性和綜合性.在“倡導(dǎo)創(chuàng)新體系，提倡素質(zhì)教育”的今天，本章的考題是最好的體現(xiàn).一般有1～2道小題，且多為選擇、填空題，應(yīng)注意二項(xiàng)式定理在近似計(jì)算中的應(yīng)用.

2.高考對排列、組合內(nèi)容的考查，一般以實(shí)際應(yīng)用題形式出現(xiàn)，這是因?yàn)榕帕�、組合的應(yīng)用性概念強(qiáng)，并充滿思辨性和解法多樣性，符合高考選擇題的特點(diǎn)，易于考查學(xué)生的能力，此類題大致可分兩類.

（1）有附加條件的排列問題，此類題多數(shù)只有一個(gè)附加條件，且以學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)問題或排隊(duì)問題為主.

（2）有附加條件的組合問題.此類題常以“至少取n個(gè)”或以幾何為背景的分類組合問題為主.

3.高考對二項(xiàng)式定理的考查，以二項(xiàng)式展開式及其通項(xiàng)公式內(nèi)容為主，要有目標(biāo)意識和構(gòu)造意識，要注意展開式的通項(xiàng)公式正、反兩方面的應(yīng)用.此類題也可分兩類.

（1）直接運(yùn)用通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)的系數(shù)或與系數(shù)有關(guān)的問題.

（2）需用轉(zhuǎn)化思想化歸為二項(xiàng)問題來處理的問題.

4.高考對統(tǒng)計(jì)、概率內(nèi)容的考查，往往以實(shí)際應(yīng)用題出現(xiàn).這既是這類問題的特點(diǎn)，也符合高考發(fā)展方向，考生要以課本概念和方法為主，以熟練技能，鞏固概念為目標(biāo)，查找知識缺漏，總結(jié)解題規(guī)律.

5.本章試題的特點(diǎn)是：

（1）綜合性強(qiáng).如排列、組合題大多能與集合、數(shù)列、立體幾何等內(nèi)容組合構(gòu)成小型綜合題，使每題涉及的知識點(diǎn)在兩個(gè)以上.

（2）應(yīng)用性強(qiáng)，如統(tǒng)計(jì)問題及概率問題，都是以實(shí)際問題為背景.

（3）對運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的要求高，如解排列、組合問題時(shí)，需分類討論、分步討論.以幾何為背景的排列、組合題需用數(shù)形結(jié)合的思想，在解非二項(xiàng)問題時(shí)，需用轉(zhuǎn)化思想化歸為二項(xiàng)問題求解等，這種命題特點(diǎn)在以后的高考中仍會保持下去.

6.根據(jù)高考試題的現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢看，考生應(yīng)：

（1）立足基礎(chǔ)知識和基本方法的復(fù)習(xí).恰當(dāng)選取典型例題，構(gòu)建思維模式，造就思維依托和思維的合理定勢，如對排列應(yīng)用題可用①某元素排在某位上；②某元素不排在某位上；③某幾個(gè)元素排在一起；④某幾個(gè)元素不得相鄰；⑤某幾個(gè)元素順序一定等基本問題，加強(qiáng)思維的規(guī)范訓(xùn)練.

（2）抓好破勢訓(xùn)練，為提高能力，運(yùn)用變式題目，常規(guī)題向典型問題的轉(zhuǎn)化，進(jìn)行多種解法訓(xùn)練，從不同角度，不同側(cè)面對題目進(jìn)行全面分析，結(jié)合典型的錯(cuò)解分析，查找思維的缺陷，提高分析解決問題的能力.

（3）抓好“操作”訓(xùn)練，就是面對問題，具體排一排、選一選，運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理為“完成這件事”設(shè)計(jì)合理的程序或分類標(biāo)準(zhǔn)，注意加強(qiáng)解題過程的展示與分析.

（4）加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練.數(shù)學(xué)思想方法是高考的重要內(nèi)容.分類討論、轉(zhuǎn)化思想、整體思想、正難則反等數(shù)學(xué)思想在本章試題中經(jīng)�？疾�，如把（a＋b＋c）ⁿ常化為［（a＋b）＋c］ⁿ來處理，需要平時(shí)經(jīng)常歸納總結(jié).

另外，在復(fù)習(xí)中要控制好訓(xùn)練題的難度.不做難題、偏題、怪題，一般兩個(gè)以上附加條件的應(yīng)用題可不考慮，文科復(fù)習(xí)在題型上應(yīng)與理科相同，但題中數(shù)量關(guān)系可簡單些，以降低題目的難度.

（5）重點(diǎn)掌握隨機(jī)事件、等可能事件，互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生n次等五種事件的概率，會用樣本頻率分布估計(jì)總體分布，會用樣本平均數(shù)估計(jì)總體期望值，會用樣本的方差估計(jì)總體方差.