問題1．(全國Ⅱ)的展開式中常數(shù)項(xiàng)為　　 (用數(shù)字作答).

求展開式中的系數(shù)(要求用兩種方法解答).

求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)

求展開所得的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)數(shù)

問題2．已知，

則　　　 　　　　　　

(安徽文)已知，

則的值等于　　　　　　　 ．

(浙江)若多項(xiàng)式，則

(天津)設(shè)，則　　　　　

問題3．求的近似值(精確到)

已知能被整除，則最小值　　

問題4．求證：≤()；你能把不等式中的上限變得更小些嗎？

二項(xiàng)式定理及其特例：

，

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：

常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)：

求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性.

二項(xiàng)式系數(shù)表(楊輝三角)

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)依次取…時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和.

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是，，，…，．可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是，例當(dāng)時(shí)，其圖象是個(gè)孤立的點(diǎn)(如圖)

對稱性．

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等()．直線是圖象的對稱軸.

增減性與最大值：

當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)，取得最大值.

各二項(xiàng)式系數(shù)和：∵，

令，則

在使用通項(xiàng)公式時(shí)，要注意：

通項(xiàng)公式是表示第項(xiàng)，而不是第項(xiàng).展開式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第項(xiàng)的系數(shù)不同.通項(xiàng)公式中含有五個(gè)元素，只要知道其中的四個(gè)元素，就可以求出第五個(gè)元素.在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題中，常常遇到已知這五個(gè)元素中的若干個(gè)，求另外幾個(gè)元素的問題，這類問題一般是利用通項(xiàng)公式，把問題歸納為解方程(或方程組).這里必須注意是正整數(shù)，是非負(fù)整數(shù)且≤. 證明組合恒等式常用賦值法.要正確理解二項(xiàng)式定理，準(zhǔn)確地寫出二項(xiàng)式的展開式.要注意區(qū)分項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù). 二項(xiàng)式展開式系數(shù)可用通項(xiàng)公式及組合知識.

用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似運(yùn)算，關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)厣崛〔挥绊懢�度的�?xiàng)，一般地：當(dāng)

很小時(shí)，有.

(福建)某校高二年級共有六個(gè)班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入名學(xué)生，要安排到該年級的兩個(gè)班級且每班安排名，則不同的安排方案種數(shù)為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(福建文)某通訊公司推出一組手機(jī)卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“”到“”共個(gè)號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“”或“”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為

(四川)用數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比大的五位偶數(shù)

共有　　 個(gè)　　　　　 個(gè)　 　　 個(gè)　　　 個(gè)

(北京文)某城市的汽車牌照號碼由個(gè)英文字母后接個(gè)數(shù)字組成，其中個(gè)數(shù)字互不相同的牌照號碼共有個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè)

(湖北)已知直線(是非零常數(shù))與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有

條　　　　 條　　　　 條　　　　 條

(上海文)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對”. 在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個(gè)數(shù)是　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(北京東城區(qū)模擬)組合數(shù)　　　　

(昆明一模)如圖，為海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)小島連接起來，則不同的建橋方法共有　　 種　　 種　　 種　　 種

(屆高三湖南省十二校一聯(lián))如圖，正五邊形

中，若把頂點(diǎn)染上紅、黃、綠

三種顏色中的一種，使得相鄰頂點(diǎn)所染顏色不相同，

則不同的染色方法共有　　　　　　　　　 種 .

(湖北八校二聯(lián))用四種不同的顏色給正方體的六個(gè)面染色，

要求四種顏色用完，且相鄰兩個(gè)面涂不同的顏色，則所有不同的涂色方法共有

種　　　　 種　　　　　 種　　 　　　種

某人用步恰好上完個(gè)臺階，則有　　　　 　種不同上法.

個(gè)人站成一排，男女相間有　　　　 　種排法,如果其中某三人站在一起，另外四人排在一起有　　　　 　種排法,若其中甲乙之間各一人有　　　　 　種排法.

下面是高考第一批錄取的一份志愿表：

　現(xiàn)有所重點(diǎn)院校，每所重點(diǎn)院校有個(gè)

專業(yè)是你較為滿意的選擇，如果表格填滿

且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也

沒有重復(fù)，不同的填寫方法的種數(shù)是：

一個(gè)三位數(shù)稱為“凹數(shù)”，如果該三位數(shù)同時(shí)滿足且，那么所有不同的

“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)是　　　　　　　　

(雅禮中學(xué)月考)已知，從到的映射滿足：①≤

≤≤≤；②的象有且只有個(gè)，則適合條件的映射的個(gè)數(shù)是

問題1．填空：①已知，，則　　 　　　　　；

②已知，則　　　　　 ；③已知，則　　　　　

計(jì)算：①；　　　 　②

問題2．(北京)記者要為名志愿者和他們幫助的為老人拍照，要求排成一排，位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有種種種種

(全國Ⅰ)安排位工作人員在月日到月日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在月日和日，不同的安排方法共有　　 種。(用數(shù)字作答)

個(gè)人站成一排，其中互不相鄰且也互不相鄰的排法有多少種？

問題3．(江蘇)今有個(gè)紅球、個(gè)黃球、個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，

將這個(gè)球排成一列有　　　 　　　種不同的方法(用數(shù)字作答).

(湖北聯(lián)考)本不同的書，平均分成三堆，每堆兩本，有種不同的分法；

若分成三堆，有兩堆各本，另一堆本，有種不同的分法，則　　　

問題4．(陜西)安排名支教教師去所學(xué)校任教，每校至多人，則不同的分配方案共有　　　　 種．(用數(shù)字作答)

(陜西)某校從名教師中選派名教師同時(shí)去個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地人),其中

甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,則不同的選派方案共有　　　　　　 種

(遼寧)有兩排座位，前排個(gè)座位，后排個(gè)座位，現(xiàn)安排人就座，

規(guī)定前排中間的個(gè)座位不能坐，并且這人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是

問題5．按下列要求分配本不同的書，各有多少種不同的分配方式：

如果每人得本有多少種不同的分法？

如果甲得本，乙得本，丙得本有多少種分法？

如果一人得本，一人得本，一人得本有多少種分法？

平均分成三堆，每堆本有多少種分法？

問題6． 五個(gè)人并排站成一排，則不同的排法有種種種種

一名老師和四名學(xué)生排成一排，老師不在兩端，則不同的排法有　　　　　 種.　

從臺甲型和臺乙型電視機(jī)中任取臺，其中至少要甲、乙電視機(jī)各一臺，則不同的取法有　　　　 　種.

把個(gè)相同的小球放入編號為的盒子中，問每個(gè)盒子中至少有個(gè)小球的不同放法有多少種？

排列的概念：從個(gè)不同元素中，任取()個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列

排列數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中，任取()個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示

排列數(shù)公式：()

階乘：表示正整數(shù)到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定．

組合的概念：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合.

組合數(shù)的概念：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)．用符號表示．

組合數(shù)公式：.

組合數(shù)的性質(zhì):．規(guī)定：； 　＝+

附有限制條件的排列:

①優(yōu)先特殊元素(或位置)②相鄰問題：“捆綁法””③不相鄰問題：“插空法

④復(fù)雜問題：“排除法”⑤機(jī)會均等法；

組合問題常見解題方法：

注意“至少”、“最多”、“含”等詞

區(qū)分“分配”與“分組”：“分組問題”的特征是組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同是不可區(qū)分的，即指把物件分成組，是無順序可言的；而“分配”問題即使元素個(gè)數(shù)相同，但因人不同，仍然是可區(qū)分的，或者是指把物件分給不同的人(或團(tuán)體)，是有順序的，解分配問題必須先分組后排列，若平均分組，則分法取法/

隔板分組法：常常用于解決一類相同元素分給不同對象的分配問題.

(湖北文)把一同排張座位編號為的電影票全部分給個(gè)人，每人至少分張，至多分張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)是　　　　 　　　　　　　　　　

(天津)從集合中任選兩個(gè)元素作為橢圓方程中的、，

則能組成落在矩形區(qū)域，且內(nèi)的橢圓個(gè)數(shù)為

(全國Ⅰ文)甲、乙、丙位同學(xué)選修課程，從門課程中，甲選修門，乙、丙各選修門，則不同的選修方案共有　 種　 種　 種　 種

(全國Ⅱ文)位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有　　 種　　　 種　　 種　　 種

有一項(xiàng)活動(dòng)，需在名老師、名男生和名女生中選人參加.

若只需人參加，有多少種不同的選法？

若需老師、男生、女生各人參加，有多少種不同的選法？

若需名老師、名學(xué)生參加，有多少種不同的選法？

三邊長均為正整數(shù)，且最大邊長為的三角形的個(gè)數(shù)為

若是定義域?yàn)?sub>≤≤，，值域?yàn)?sub>的函數(shù)，

則這樣的函數(shù)共有　　　 個(gè)　　 個(gè)　　　 個(gè)　　 個(gè)

名高中畢業(yè)生報(bào)考其中的所重點(diǎn)院校，每人只報(bào)一所院校，則有多少種不同的報(bào)名方法？名高中畢業(yè)生報(bào)考其中的所重點(diǎn)院校，每人只報(bào)一所院校，每個(gè)院校僅允許報(bào)一名，有多少種不同的報(bào)名方法？

從，…，九個(gè)正整數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)字分別作為對數(shù)和真數(shù)，共可以得到多少個(gè)不同的對數(shù)值?

從中任取個(gè)不同的數(shù)作為拋物線方程()

的系數(shù)，如果拋物線過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第一象限，則這樣的拋物線共有多少條？

將封信投入個(gè)郵筒，不同的投法共有

　 　　　種　　　 　種　　　 　種　　　 　種

個(gè)學(xué)生在本不同的參考書中各挑選一本，不同選法種數(shù)是

問題1．在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？

三人傳球，由甲開始發(fā)球，并作第一次傳球，經(jīng)過次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有　　 種　　 種　　 種　　 種

問題2．(廣州綜合測試)某文藝團(tuán)下基層進(jìn)行宣傳演出，原準(zhǔn)備的節(jié)目表有

個(gè)節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對順序不變，在它們之間再插入個(gè)小品節(jié)目，并且這個(gè)小品節(jié)目在節(jié)目表中既不排頭，也不排尾，那么不同的插入方法有

種　　　　 種　　　　 種　　　　　　 種

用種不同顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖),要求在①、②、③、④四個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用

同一種顏色.

(Ⅰ)若，為甲著色時(shí)

共有多少種不同等方法？

(Ⅱ)若為乙著色時(shí)共有

種不同方法，求.

正整數(shù)的正約數(shù)有　　　　 　個(gè).

問題3．某外語組有人，每人至少會英語和日語中的一門，其中人會英語，人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？

分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，……，在第類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 　種不同的方法.

分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)：

做一件事情，完成它需要分成個(gè)步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第步有種不同的方法，那么完成這件事有：

　　　 　種不同的方法.

正確區(qū)分和使用兩個(gè)原理是學(xué)好本章的關(guān)鍵.區(qū)分“分類與分步”的依據(jù)在于能否“一次性”完成. 若能“一次性”完成，則不需“分步”，只需分類；否則就分步處理.有些較復(fù)雜的問題，既要“分類”，又要“分步”，應(yīng)明確按什么標(biāo)準(zhǔn)“分類”，“分步”，不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以有不同的解法，解題時(shí)應(yīng)擇優(yōu)而行.在應(yīng)用計(jì)數(shù)原理時(shí)，要仔細(xì)審題，分清是允許重復(fù)，還是不允許重復(fù).