如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA₁＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：AC⊥BC₁；

(Ⅱ)求證：AC₁∥平面CDB₁．

如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，求證：

(1)AC₁⊥BD；

(2)平面AC₁D⊥平面A₁BD．

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，已知a₁＝1，a_n+1＝S_n(n＝1，2，3，…)．

證明：(1)．?dāng)?shù)列{}是等比數(shù)列；

(2)．S_n+1＝4a_n．

如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：PA∥平面BDF；

(Ⅱ)求證：BD⊥平面PAC．

證明(1)已知＝1，求證3sin2α＝－4cos2α

(2)已知數(shù)列，，，…，，…，計(jì)算S₁，S₂，S₃，由此推算S_n的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．

選修4－5：不等式選講

(Ⅰ)已知x，y都是正實(shí)數(shù)，求證：x³＋y³≥x²y＋xy²；

(Ⅱ)已知a，b，c都是正實(shí)數(shù)，求證：a³＋b³＋c³≥(a²＋b²＋c²)(a＋b＋c)．

設(shè)n為大于1的自然數(shù)，求證：＋＋＋…＋＞．

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：

(1)∠AED＝∠AFD；

(2)AB²＝BE·BD－AE·AC．

如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是菱形，PB＝PD，且E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)．求證：

(1)EF∥平面PBD；

(2)平面PEF⊥平面PAC．

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E在棱CC₁的延長(zhǎng)線上，且CC₁＝C₁E＝BC＝AB＝1．

(Ⅰ)求證：D₁E∥平面ACB₁；

(Ⅱ)求證：平面D₁B₁E⊥平面DCB₁；