練習：數(shù)列{a_n}滿足，猜測a_n=_________________（）

   例2、自然數(shù)的平方的末位數(shù)字能否為2？

   解答：自然數(shù)平方的末位數(shù)字取決于自然數(shù)的末位數(shù)字，一個自然數(shù)的末位數(shù)字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十種情況，于是有

N的末位數(shù)字

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

N²的末位數(shù)字

0

1

4

9

6

5

6

9

4

1

末位數(shù)字不可能是2

   說明：這種將所有情況列舉出的歸納推理稱完全歸納法，它適用于有限的情況，結論一定正確。相應的沒有說明所有情況的歸納推理稱不完全歸納法

   例3、(1)<, <,<,<,…………,由此歸納出一般結論

   (2) <,<,<,......由此歸納出一般結論

  (3)由(1)和(2),歸納出一個更一般的結論，并證明

解答：(1)d>0，<

(2)d>0,<

(3)m>n>0,d>0則<,證明-=>0，故猜想歸納正確

 練習：教材P64---練習題

  1、由特殊到一般的推理稱歸納推理

  2、歸納推理分完全歸納和不完全歸納法，完全歸納法得到的結論是正確的，不完全歸納法得到的結論未必正確（若正確需要證明，不正確需要舉反例，不能說明正確與否的只能算做猜想）

[補充習題]

1、觀察下列式子1+<,1++<,1+++<,…,由此可以得出結論___________

2、f(x)=,歸納出=_________________

3、因當n=0,1,2,3時，2ⁿ<n²+8，故對于所有的自然數(shù)n，2ⁿ<n²+8,這樣的推理是否為歸納推理？結論正確嗎？

4、圓內(nèi)彼此兩兩相交的n（n≥2）條線段，彼此最多能分成多少條線段？將圓最多分成多少部分？

[答案]

1、<

2、

3、是歸納推理，結論不正確

4、n²,

                            第二課時   類比推理

[教學目標]

[教學重點]類比推理

[教學難點]類比推理的正確性

[教學過程]

2、魯班通過被刺菜發(fā)明了鋸，這一推理過程是歸納推理嗎？實質(zhì)是什么？（不是歸納推理，是由特殊到特殊的推理，將這種推理命名為類比推理）

匯總1：類比推理的一般模式是

匯總2：類比推理結果未必正確，也屬于一種合情推理。這樣合情推理中最常見的兩種推理就是歸納與類比，前者是由特殊到一般，后者是由特殊到特殊

匯總3：類比推理的過程：觀察比較→聯(lián)想類推→猜測新結論

例、三角形內(nèi)切圓半徑為r，三邊長為a,b,c，則三角形的面積V=r(a+b+c)，寫出空間一個類似結論。

解：四面體內(nèi)切球半徑為R，四個面的面積分別為S₁,S₂,S₃,S₃,則四面體的體積為V=R(S₁+S₂+S₃+S₄)

練習：教材P67---練習題

[補充習題]

1、平行四邊形對角線交于一點且互相平分，類比到空間有_______________

2、在公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{a_n}中，S_n是{a_n}的前n項和，則數(shù)列S₂₀-S₁₀,S₃₀-S₂₀,S₄₀-S₃₀也成等差數(shù)列，且公差為100d；類比此結論，對于公比為q的等比數(shù)列{b_n}的前n項積為T_n,則滿足______________

3、平面直角坐標系xOy中，A、B不全為0，則Ax+By+C=0表示一條直線方程，且(A,B)為該直線的一個法向量，點(x₀,y₀)到直線的距離為，寫出空間一個類似的結論

4、平面內(nèi)，若射線OM、ON上分別存在點M₁、M₂與點N₁、N₂，則三角形面積比=；類比到空間，若不在同一平面的射線OP、OQ、OQ上分別存在點P₁和P₂,Q₁和Q₂，R₁和R₂，則體積比=______________

[答案]

1、平行六面體的體對角線交于一點且互相平分

2、，，也成等比數(shù)列，且公差為q¹⁰⁰

3、空間直角坐標系O-xyz中，A、B、C不全為0，則Ax+By+Cz+D=0表示一個平面方程，且(A,B,C)為該平面的一個法向量，點(x₀,y₀,z₀)到平面的距離為

4、

                           第三課時   演繹推理

教學目標：

教學重點：三段論

教學難點：推理過程。

教學過程：

一．復習:合情推理

歸納推理    從特殊到一般

類比推理    從特殊到特殊

從具體問題出發(fā)??觀察、分析比較、聯(lián)想??歸納。類比??提出猜想

  觀察與思考

1所有的金屬都能導電

銅是金屬,   

所以，銅能夠?qū)щ?/p>

2.一切奇數(shù)都不能被2整除,         

(2100+1)是奇數(shù)，

 所以，  (2100+1)不能被2整除.

3.三角函數(shù)都是周期函數(shù),         

tan  是三角函數(shù),  

所以，tan 是 周期函數(shù)。

提出問題 ：像這樣的推理是合情推理嗎？

二．學生活動 ：

1.所有的金屬都能導電 ←――――大前提

銅是金屬,    ←-----小前提

所以，銅能夠?qū)щ?nbsp;  ←??結論

2.一切奇數(shù)都不能被2整除 ←――――大前提

(2100+1)是奇數(shù)，←??小前提

 所以，  (2100+1)不能被2整除. ←???結論

3.三角函數(shù)都是周期函數(shù),    ←――大前提

tan  是三角函數(shù), ←??小前提

所以，tan 是 周期函數(shù)�！�??結論

三，建構數(shù)學

  演繹推理的定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理．

１．演繹推理是由一般到特殊的推理；

２．“三段論”是演繹推理的一般模式；包括　

　⑴大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　

⑵小前提---所研究的特殊情況；　　　　　　　

⑶結論-----據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．

三段論的基本格式

M―P（M是P）   （大前提）

S―M（S是M）    （小前提）

S―P（S是P）     （結論）

3.三段論推理,只要前提正確，推理形式也正確，結論必然正確

四，數(shù)學運用

例1、三角形ABC中，D、E、F分別是BC、CA、AB的中點，∠BFD=∠A，DE∥BA，

求證：ED=AF

（教材例1）

  寫成推理模式說明有幾個推理就有幾個三段論

練習1：

練習2：教材P71---3

 例2、已知a,b,m為正實數(shù)，b<a，求證<并說明包含幾個三段論

[法一]見教材解答

[法二]作差比較

練習：.已知lg2=m,計算lg0.8，并說明其中含有幾個三段論推理

解 （1）  lgan=nlga(a>0)---------大前提

lg8=lg23――――小前提

lg8=3lg2――――結論

  lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)――大前提

lg0.8=lg(8/10)――－小前提

lg0.8=lg(8/10)――結論

例3.下面推理正確嗎？為什么？    “指數(shù)函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，因為y=0.5^x是指數(shù)函數(shù)，所以y=0.5^x是單調(diào)增函數(shù)”

   解答：不對，大前提不正確

  說明：在演繹推理中，只要兩個前提正確，推理形式也是正確的，則結論是正確的

練習：第71頁 練習第4題

五 回顧小結：

1、演繹推理具有如下特點:見課本。

2、演繹推理錯誤的主要原因是： 1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的條件（推理形式不正確）。

六、作業(yè)：第78頁  3，4，6，7。

[補充習題]

1、已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=a≠，且a_n+1=,記b_n=a_2n-1-,n=1,2,3,…,

(1)求a₃,a₂；    (2)判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明

   2、已知f(x)=x⁶-x³+x²-x+1求證對任意實數(shù)x,f(x)>0恒成立

   3、設實數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，非零實數(shù)x,y分別為a與b,b與c的等差中項，求證：=2

   4、AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點，求證BC⊥平面PAC，并說明含有幾個三段論推理

   [答案]

  1、a₂=a+,a₃=,{b_n}是等比數(shù)列，證明b_n+1=a_2n+1-=-=+)-=

  2、x<0時,f(x)>0顯然成立；0<x≤1時，f(x)=x⁶+x²(1-x)+1-x>0；x>1時，f(x)=x³(x³-1)+x(x-1)+1>0�？傊甪(x)>0恒成立

  3、4略

第四課時        推理案例賞識

教學目標：

教學重點：了解合情推理與演繹推理的混合應用

教學難點：形成完整的思路。

教學過程：

二、案例：

例1 、正整數(shù)平方和公式的推導。

提出問題（n）＝＝？（見教材說明）

說明：一般的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程是：計算猜想證明的思路

練習1：求

練習2：f(x)=x+e^x對一切實數(shù)a,b，a+b≤0，說明f(a)+f(b)與f(-a)+f(-b)的大小關系，并證明思考：練習2中，f(x)解析式是否必要？修改成什么條件也可以比較大��？

例2、臺體體積公式的推導（見教材P74―P76）

練習：直線P₁P₂上有點P，若=λ，稱P分的比為λ，則有，類比此結論，對于一個梯形ABCD（上底、下底分別為DC、AB），EF分梯形的高的自上而下的比為λ，求EF（用兩底AB、CD表示），并證明;

再次類比，空間一個臺體，上下底面面積分別為S₁、S₂，一個平行于底面的截面分高自上而下的比為λ，截面面積S與S₁、S₂滿足關系______

(EF=,)

說明：（1）數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程是一個探索創(chuàng)造的過程.是一個不斷地提出猜想驗證猜想的過程，合情推理和論證推理相輔相成，相互為用，共同推動著發(fā)現(xiàn)活動的進程。

（2）合情推理是富于創(chuàng)造性的或然推理，在數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動中，它為演繹推理確定了目標和方向，具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結論，提供思路的作用。

（3）演繹推理是形式化程度較高的必然推理，在數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動中，它具有類似于“實驗”的功能，它不僅為合情推理提供了前提，而且可以對猜想作出“判決”和證明，從而為調(diào)控探索活動提供依據(jù)。

[補充習題]

1、在三角形ABC中，三個內(nèi)角A、B、C對應邊分別為a,b,c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，判斷三角形ABC的形狀，并證明

2、函數(shù)f(x)滿足對任意非零實數(shù)a及任意x有f(x+a)=,判斷f(x)是否為周期函數(shù)，如果是求出它的一個周期

3、α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α、β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三個論斷為條件，余下一個論斷為結論，寫出你認為正確的一個命題

[答案]1、等邊三角形；2、4|a|是其一個周期；3、①③④②；②③④①