11.(2009安徽卷文)(本小題滿分12分)

　 某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A，將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對(duì)照

試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：.　 　　　

品種A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414，

　　 415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454

品種B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397

　　　　 397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430

(Ⅰ)完成所附的莖葉圖

(Ⅱ)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？.　 　　　

(Ⅲ)通過(guò)觀察莖葉圖，對(duì)品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫(xiě)出統(tǒng)計(jì)結(jié)論。

[思路]由統(tǒng)計(jì)知識(shí)可求出A、B兩種品種的小麥穩(wěn)定性大小并畫(huà)出莖葉圖，用莖葉圖處理數(shù)據(jù)，看其分布就比較明了。.　 　　　

[解析](1)莖葉圖如圖所示

(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)不僅可以看出數(shù)據(jù)的分布狀況,而且可以看出每組中的具體數(shù)據(jù).

(3)通過(guò)觀察莖葉圖，可以發(fā)現(xiàn)品種A的平均每畝產(chǎn)量為411.1千克，品種B的平均畝產(chǎn)量為397.8千克.由此可知,品種A的平均畝產(chǎn)量比品種B的平均畝產(chǎn)量高.但品種A的畝產(chǎn)量不夠穩(wěn)定，而品種B的畝產(chǎn)量比較集中D平均產(chǎn)量附近.

10.(2009安徽卷理)(本小題滿分12分)

　　 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過(guò)疫區(qū).B肯定是受A感染的.對(duì)于C，因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是.在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個(gè)隨機(jī)變量.寫(xiě)出X的分布列(不要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程),并求X的均值(即數(shù)學(xué)期望).

本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算，考查取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列和均值的概念，通過(guò)設(shè)置密切貼近現(xiàn)實(shí)生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值。本小題滿分12分。

解：隨機(jī)變量X的分布列是

X	1	2	3
P

X的均值為

附：X的分布列的一種求法

共有如下6種不同的可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是：

①	②	③	④	⑤	⑥
A-B-C-D	A-B-C └D	A-B-C └D	A-B-D └C	A-C-D └B

在情形①和②之下，A直接感染了一個(gè)人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了兩個(gè)人；在情形⑥之下，A直接感染了三個(gè)人。

9.(2009全國(guó)卷Ⅰ理)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)

　 甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，已知前2局中，甲、乙各勝1局。

　(I)求甲獲得這次比賽勝利的概率；

　(II)設(shè)表示從第3局開(kāi)始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求得分布列及數(shù)學(xué)期望。

分析：本題較常規(guī)，比08年的概率統(tǒng)計(jì)題要容易。

需提醒的是：認(rèn)真審題是前提，部分考生由于考慮了前兩局的概率而導(dǎo)致失分，這是很可惜的，主要原因在于沒(méi)讀懂題。

另外，還要注意表述，這也是考生較薄弱的環(huán)節(jié)。

8.(2009全國(guó)卷Ⅱ文)(本小題滿分12分)

某車(chē)間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有10名工人，其中有6名女工人�，F(xiàn)采用分層抽樣(層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨即抽樣)從甲、乙兩組中共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核。

(Ⅰ)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；

(Ⅱ)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

(Ⅲ)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。.　 　

解析：本題考查概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，要求有正確理解分層抽樣的方法及利用分類(lèi)原理處理事件概率的能力，第一問(wèn)直接利用分層統(tǒng)計(jì)原理即可得人數(shù)，第二問(wèn)注意要用組合公式得出概率，第三問(wèn)關(guān)鍵是理解清楚題意以及恰有2名男工人的具體含義，從而正確分類(lèi)求概率。

解：(I)由于甲、乙兩組各有10名工人，根據(jù)分層抽樣原理，要從甲、乙兩組中共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核，則從每組各抽取2名工人。

(II)記表示事件：從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，則

(III)表示事件：從甲組抽取的2名工人中恰有名男工人，

　　　 表示事件：從乙組抽取的2名工人中恰有名男工人，

　　　 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。.　 　

　　　 與獨(dú)立， ，且

故　

7.(2009山東卷文)(本小題滿分12分)

　 一汽車(chē)廠生產(chǎn)A,B,C三類(lèi)轎車(chē),每類(lèi)轎車(chē)均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào),某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):

按類(lèi)型分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車(chē)中抽取50輛,其中有A類(lèi)轎車(chē)10輛.

(1)　　　 求z的值. 　　　

(2)　　　 用分層抽樣的方法在C類(lèi)轎車(chē)中抽取一個(gè)容量為5的樣本.將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車(chē)的概率;

(3)　　　 用隨機(jī)抽樣的方法從B類(lèi)舒適型轎車(chē)中抽取8輛,經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下:9.4,　 8.6, 9.2,　 9.6,　 8.7,　 9.3,　 9.0,　 8.2.把這8輛轎車(chē)的得分看作一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率.

解: (1).設(shè)該廠本月生產(chǎn)轎車(chē)為n輛,由題意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400

(2) 設(shè)所抽樣本中有m輛舒適型轎車(chē),因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ贑類(lèi)轎車(chē)中抽取一個(gè)容量為5的樣本,所以,解得m=2也就是抽取了2輛舒適型轎車(chē),3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車(chē),分別記作S₁,S₂;B_1,B₂,B₃,則從中任取2輛的所有基本事件為(S₁, B₁), (S₁, B₂) , (S₁, B₃) (S₂ ,B₁), (S₂ ,B₂), (S₂ ,B₃),( (S₁, S₂),(B₁ ,B₂), (B₂ ,B₃) ,(B₁ ,B₃)共10個(gè),其中至少有1輛舒適型轎車(chē)的基本事件有7個(gè)基本事件: (S₁, B₁), (S₁, B₂) , (S₁, B₃) (S₂ ,B₁), (S₂ ,B₂), (S₂ ,B₃),( (S₁, S₂),所以從中任取2輛,至少有1輛舒適型轎車(chē)的概率為.

(3)樣本的平均數(shù)為,

那么與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的數(shù)為9.4,　 8.6,　 9.2,　 8.7,　 9.3,　 9.0這6個(gè)數(shù),總的個(gè)數(shù)為8,所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率為.

[命題立意]:本題為概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)內(nèi)容,涉及到分層抽樣以及古典概型求事件的概率問(wèn)題.要讀懂題意,分清類(lèi)型,列出基本事件,查清個(gè)數(shù).,利用公式解答.

6.(2009山東卷理)(本小題滿分12分)

　　 在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分；如果前兩次得分之和超過(guò)3分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在A處的命中率q為0.25，在B處的命中率為q，該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為

	0	2	3	4	5
p	0.03	P1	P2	P3	P4

(1)　　　 求q的值； 　　

(2)　　　 求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E;

(3)　　　 試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分與選擇上述方式投籃得分超過(guò)3分的概率的大小。

解:(1)設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨(dú)立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.

根據(jù)分布列知: =0時(shí)=0.03,所以，q=0.8.

(2)當(dāng)=2時(shí), P₁= 　　　

=0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24

當(dāng)=3時(shí), P₂ ==0.01,

當(dāng)=4時(shí), P₃==0.48,

當(dāng)=5時(shí), P₄=

=0.24

所以隨機(jī)變量的分布列為

	0	2	3	4	5
p	0.03	0.24	0.01	0.48	0.24

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

(3)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率為

;

該同學(xué)選擇(1)中方式投籃得分超過(guò)3分的概率為0.48+0.24=0.72.

由此看來(lái)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率大.

[命題立意]:本題主要考查了互斥事件的概率,相互獨(dú)立事件的概率和數(shù)學(xué)期望,以及運(yùn)用概率知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

5.(2009北京卷理)(本小題共13分)

某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2min.

(Ⅰ)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；

(Ⅱ)求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的分布列及期望.

[解析]本題主要考查隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率知識(shí)、考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

(Ⅰ)設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈為事件A，因?yàn)槭录嗀等于事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒(méi)有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為.

(Ⅱ)由題意，可得可能取的值為0，2，4，6，8(單位：min).

事件“”等價(jià)于事件“該學(xué)生在路上遇到次紅燈”(0，1，2，3，4)，

∴，

∴即的分布列是

	0	2	4	6	8

∴的期望是.

4.(2009北京卷文)(本小題共13分)

某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2min.

(Ⅰ)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；

(Ⅱ)這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間至多是4min的概率.　　　　　　　

[解析]本題主要考查隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

(Ⅰ)設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈為事件A，因?yàn)槭录嗀等于事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒(méi)有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為.

(Ⅱ)設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間至多是4min為事件B，這名學(xué)生在上學(xué)路上遇到次紅燈的事件.

　　　 則由題意，得，

.

由于事件B等價(jià)于“這名學(xué)生在上學(xué)路上至多遇到兩次紅燈”，

∴事件B的概率為.

3.(2009浙江卷理)(本題滿分14分)在這個(gè)自然數(shù)中，任取個(gè)數(shù)．

　 (I)求這個(gè)數(shù)中恰有個(gè)是偶數(shù)的概率；

　 (II)設(shè)為這個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)(例如：若取出的數(shù)為，則有兩組相鄰的數(shù)

和，此時(shí)的值是)．求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解析：(I)記“這3個(gè)數(shù)恰有一個(gè)是偶數(shù)”為事件A，則；.　 　

(II)隨機(jī)變量的取值為的分布列為

	0	1	2
P

所以的數(shù)學(xué)期望為 .　 　

2.(2009廣東卷理)(本小題滿分12分)

根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API(為整數(shù))的不同，可將空氣質(zhì)量分級(jí)如下表：

對(duì)某城市一年(365天)的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，獲得的API數(shù)據(jù)按照區(qū)間，，，，，進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖如圖5. 　　　　　　　　　　　　　

(1)求直方圖中的值；

(2)計(jì)算一年中空氣質(zhì)量分別為良和輕微污染的天數(shù)；

(3)求該城市某一周至少有2天的空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率.

(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示．已知，， ，)

解：(1)由圖可知，解得；

(2)；

(3)該城市一年中每天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為，則空氣質(zhì)量不為良且不為輕微污染的概率為，一周至少有兩天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為.