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【題目】已知極點與直角坐標系的原點重合,極軸與x軸的正半軸重合,圓C的極坐標是ρ=2asinθ,直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)).
(1)若a=2,M為直線l與x軸的交點,N是圓C上一動點,求|MN|的最大值;
(2)若直線l被圓C截得的弦長為 ,求a的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(3﹣a)x﹣2+a﹣2lnx(a∈R)
(1)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào),求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣x在(0, )上無零點,求a的最小值.
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【題目】已知右焦點為F(c,0)的橢圓M: =1(a>b>0)過點 ,且橢圓M關(guān)于直線x=c對稱的圖形過坐標原點.
(1)求橢圓M的方程;
(2)過點(4,0)且不垂直于y軸的直線與橢圓M交于P,Q兩點,點Q關(guān)于x軸的對稱原點為E,證明:直線PE與x軸的交點為F.
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【題目】某廠今年擬舉行促銷活動,經(jīng)調(diào)查測算,該廠產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x(萬件)與年促銷費m(萬元)(m≥0)滿足x=3-.已知今年生產(chǎn)的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).
(1)將今年該產(chǎn)品的利潤y(萬元)表示為年促銷費m(萬元)的函數(shù);
(2)求今年該產(chǎn)品利潤的最大值,此時促銷費為多少萬元?
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【題目】要建造一個容積為1 600立方米,深為4米的長方體無蓋蓄水池,池壁的造價為每平方米200元,池底的造價為每平方米100元.
(1)把總造價y元表示為池底的一邊長x米的函數(shù);
(2)由于場地原因,蓄水池的一邊長不能超過20米,問蓄水池的這個底邊長為多少時總造價最低?總造價最低是多少?
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【題目】為了解喜好體育運動是否與性別有關(guān),某報記者隨機采訪50個路人,將調(diào)查情況進行整理后制成下表:
年齡(歲) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
頻數(shù) | 5 | 10 | 8 | 10 | 5 | 5 |
喜好人數(shù) | 4 | 6 | 6 | 3 | 3 |
(1)在調(diào)查的結(jié)果中,喜好體育運動的女性有10人,不喜好體育運動的男性有5人,請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜好體育運動與性別有關(guān)?說明你的理由;
喜好體育運動 | 不喜好體育運動 | 合計 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合計 | 50 |
(2)若從年齡在[15,25),[25,35)的被調(diào)查者中各隨機選取兩人進行追蹤調(diào)查,記選中的4人中不喜好體育運動的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 下面的臨界值表供參考:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)
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【題目】(2015·湖南)如下圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,E、F分別是BC、CC1的中點.
(1)證明:平面AEF⊥平面B1BCC1;
(2)若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°,求三棱錐F-AEC的體積.
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【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的正方形,側(cè)棱PD=a,PA=PC=a,
(1)求證:PD⊥平面ABCD;
(2)求證:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求二面角P-AC-D的正切值.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是A1B1的中點.
(1)求證:A1C∥平面BDC1;
(2)若AB⊥AC,且AB=AC= AA1 , 求二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.
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